有限域中任意集合与 $k$ 坐标可配置集合之间的 Erd\H{o}s-Falconer 距离问题

本文我们研究由两个子集 $A$ 和 $B$ 确定的距离集合 $\Delta(A, B)$ 的基数，其中 $A$ 和 $B$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $d$ 维向量空间的子集。假设 $A$ 或 $B$ 在平移和旋转下位于 $k$ 坐标平面上，我们证明如果 $|A||B| > 2q^d$，则 $|\Delta(A, B)| > q/2$，其中 $|\Delta(A, B)|$ 表示 $A$ 和 $B$ 中元素之间的距离数量。特别是，我们表明本结果在奇数维数上的 Erd\H{o}s-Falconer 距离问题中恢复了尖锐的 $(d+1)/2$ 阈值，其中距离由单个集合决定。作为一个应用，我们还获得了对 Borges、Iosevich 和 Ou 提出的盒子距离问题的改进结果，仅当 $2$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中是平方时。