正特征下的距离分布

设 $\mathbb{F}_q$ 为任意有限域，$\mathcal{E}$ 为 $\mathbb{F}_q^d$ 中的点集。令 $\Delta(\mathcal{E})$ 为 $\mathcal{E}$ 中点对所确定的距离集合。利用 Kloosterman 和，Iosevich 与 Rudnev 证明了若 $|\mathcal{E}|\ge 4q^{\frac{d+1}{2}}$，则 $\Delta(\mathcal{E})=\mathbb{F}_q$。一般而言，该结果在任意有限域上的奇维空间中是尖锐的。本文中，我们利用 Rudnev 近期给出的点-平面关联界证明：若 $\mathcal{E}$ 在素域上的向量空间中具有笛卡尔积结构，则可打破指数 $(d+1)/2$，且仍覆盖所有距离。我们还证明了 $\mathcal{E}$ 中给定距离的点的对数接近于其期望值。