有限域与有限环中点积链的数量

我们探讨了 Erdős 单位距离问题的变体，涉及从 $\mathbb F_q^d$ 或 $\mathbb Z_q^d$ 的大有限子集中选取的连续点对之间的点积，其中 $q$ 为奇素数幂。具体而言，给定大有限点集 $E$ 以及基域（或基环）元素序列 $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$，我们给出保证满足对所有 $1\leq j \leq k$ 有 $x_j \cdot x_{j+1}=\alpha_j$ 的不同点 $(k+1)$ 元组 $(x_1,\dots, x_{k+1})\in E^{k+1}$ 期望数量的条件。