平面中离散链数量的近乎锐界

以下 Erd\H{o}s 单位距离问题的推广最近由 Palsson、Senger 和 Sheffer 提出。给定 $k$ 个正实数 $\delta_1,\dots,\delta_k$，若对每 $1\leq j \leq k$ 有 $\|p_j-p_{j+1}\| = \delta_j$，则 $\mathbb{R}^d$ 中的 $(k+1)$-元组 $(p_1,\dots,p_{k+1})$ 称为 $(\delta,k)$-链。在 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个点的集合里，$(k,\delta)$-链的最大数量 $C_k^d(n)$ 是多少，其中最大值取遍所有 $\delta$？改进 Palsson、Senger 和 Sheffer 的结果，我们本质上确定了平面情形中所有 $k$ 的该最大值。误差项 仅当 $k\equiv 1$ (mod) $3$ 时答案依赖于 $n$ 个点集合中单位距离的最大数量。我们也得到了三维中偶数 $k$ 的近乎锐结果。