Erdős $k$-Sperner 定理的连续类比

单位$n$-立方体中的链（chain）是集合$C\subset [0,1]^n$，使得对于$C$中每一对$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$和$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)$，要么对所有$i\in [n]$有$x_i\le y_i$，要么对所有$i\in [n]$有$x_i\ge y_i$。我们证明单位$n$-立方体中链的$1$维Hausdorff测度至多为$n$，且该界是紧的。给定此结果，我们考虑在约束其对所有链$C\subset [0,1]^n$满足$\mathcal{H}^1(A\cap C) \le \kappa$的条件下，最大化可测集$A\subset [0,1]^n$的$n$维Lebesgue测度的问题，其中$\kappa$是区间$(0,n]$中的固定实数。我们证明$A$的测度不大于以下最优集的测度：$$A^{\ast}_{\kappa} = \left\{ (x_1,\ldots,x_n)\in [0,1]^n : \frac{n-\kappa}{2}\le \sum_{i=1}^{n}x_i \le \frac{n+ \kappa}{2} \right\} \, .$$我们的结果可视为关于有限集的$k$-Sperner族的Erdős定理的连续对应。