单位 n-立方体中最优反链与相交子集的分形视角
组合数学
2017-07-18 v1
摘要
一个 n-立方体反链是单位 n-立方体 [0,1]^n 的一个子集，它不包含满足对所有 i ∈ {1,…,n} 有 x_i ≤ y_i 的两个元素 x=(x_1,…,x_n) 和 y=(y_1,…,y_n)。利用一个适当有限偏序集的链划分，我们证明了 n-立方体反链的豪斯多夫维数至多为 n-1。我们猜想 n-立方体反链的 (n-1) 维豪斯多夫测度至多为单位 n-立方体一个侧面的豪斯多夫测度的 n 倍，并验证了 n=2 的情况以及 n-立方体反链为光滑曲面时的情况。我们的证明采用了通过其单射投影的豪斯多夫测度之和来估计 n-立方体反链的豪斯多夫测度。此外，通过沿着魔鬼阶梯进行，我们构造了一个 1 维豪斯多夫测度等于 2 的 2-立方体反链。此外，我们还在类似设定下讨论了一个带有相交条件的问题。
引用
@article{arxiv.1707.04856,
title = {A fractal perspective on optimal antichains and intersecting subsets of the unit $n$-cube},
author = {Konrad Engel and Themis Mitsis and Christos Pelekis},
journal= {arXiv preprint arXiv:1707.04856},
year = {2017}
}
备注
15 pages