关于单位 $n$-立方体中的 $k$-反链

单位 $n$-立方体中的一条\emph{链}是集合 $C\subset [0,1]^n$，使得对 $C$ 中每一对 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n)$，要么对所有 $i\in [n]$ 有 $x_i\le y_i$，要么对所有 $i\in [n]$ 有 $x_i\ge y_i$。我们考虑单位 $n$-立方体 $[0,1]^n$ 的子集 $A$，满足 $$\text{card}(A \cap C) \le k, \, \text{ 对所有链 } \, C \subset [0,1]^n \, ,$$ 其中 $k$ 为固定正整数。称这样的集合 $A$ 为 $k$-反链。我们证明 $[0,1]^n$ 中 $k$-反链的 $(n-1)$ 维Hausdorff测度至多为 $kn$，且该界渐近尖锐。此外，我们猜想存在 $(n-1)$ 维Hausdorff测度等于 $kn$ 的 $[0,1]^n$ 中 $k$-反链，并在 $n=2$ 时验证了该猜想的正确性。