微集的维数范围

我们说$E$是紧集$K\subset \mathbb{R}^d$的一个微集，如果存在序列$\lambda_n\geq 1$和$u_n\in \mathbb{R}^d$使得$(\lambda_n K + u_n ) \cap [0,1]^d$在Hausdorff度量下收敛于$E$，并且$E \cap (0, 1)^d \neq \emptyset$。本文的主要结果是：对于非空集合$A\subset [0,d]$，存在一个紧集$K\subset \mathbb{R}^d$使得$K$的微集所达到的Hausdorff维数集合等于$A$，当且仅当$A$是解析的且包含其下确界和上确界。这回答了Fraser、Howroyd、K"aenm"aki和Yu的一个问题。我们证明，对于每个紧集$K\subset \mathbb{R}^d$和非空解析集$A\subset [0,\dim_H K]$，存在一个$K$的紧子集集合$\mathcal{C}$，该集合在Hausdorff度量下是紧的，且$\{\dim_H C: C\in \mathcal{C} \}=A$。证明依赖于随机余维数技术，应用于具有依赖于代数的保留概率的分形渗流的适当耦合。我们还考察了填充维数和盒维数的类似问题。