无分离条件自相似集的投影

我们研究了自相似集 $K\subseteq\mathbb{R}^{d}$ 的 Hausdorff 维数和测度在线性映射下的行为。这取决于由 $K$ 的定义映射的正交部分生成的群 $\mathcal{T}$ 的性质。我们表明，如果 $\mathcal{T}$ 是有限的，则 $K$ 的每个线性像都是图导向吸引子，并且存在至少一个 $K$ 的投影，使得维数在该投影像下降低。一般而言，在对 $\mathcal{T}$ 无任何限制的情况下，我们建立了对于闭包 $\mathcal{T}$ 中的每个元素 $O$，都有 $\mathcal{H}^{t}(L\circ O(K))=\mathcal{H}^{t}(L(K))$，其中 $L$ 是线性映射且 $t=\dim_{H}K$。我们还证明，对于 $K$ 的不相交子集 $A$ 和 \textbf{$B$}，有 $\mathcal{H}^{t}(L(A)\cap L(B))=0$。Hochman 和 Shmerkin 表明，如果 $\mathcal{T}$ 在 $SO(d,\mathbb{R})$ 中稠密且满足强分离条件，则 $\dim_{H}(g(K))=\min\{\dim_{H}K,l\}$，其中 $g$ 是秩为 $l$ 的连续可微映射。我们在无任何分离条件的情况下推导出了相同的结果，并通过得出 $\mathcal{H}^{t}(g(K))=0$ 推广了 Ero$\breve{\mathrm{g}}$lu 的结果。