具有重叠的线性 Cantor 集的精确 Hausdorff 测度和填充测度

设 $K$ 是实直线上线性迭代函数系（IFS）$S_j(x)=\rho_jx+b_j$ ($j=1,\cdots,m$) 的吸引子，该系统满足广义有限型条件（其不变开集 $\mathcal{O}$ 为一个区间），并具有不可约加权关联矩阵。该条件由 Lau 和 Ngai 最近提出，作为开集条件的自然推广，使我们能够涵盖许多重要的重叠情形。他们证明了 $K$ 的 Hausdorff 维数和填充维数相等，并可通过加权关联矩阵的谱半径计算。设 $\alpha$ 为 $K$ 的维数。在本文中，我们指出对于所有区间 $J\subset\overline{\mathcal{O}}$，有 \begin{equation*} \mathcal{H}^\alpha(K\cap J)\leq |J|^\alpha \end{equation*}，且对于所有中心在 $K$ 中且包含于 $\overline{\mathcal{O}}$ 的区间 $J$，有 \begin{equation*} \mathcal{P}^\alpha(K\cap J)\geq |J|^\alpha \end{equation*}，其中 $\mathcal{H}^\alpha$ 表示 $\alpha$ 维 Hausdorff 测度，$\mathcal{P}^\alpha$ 表示 $\alpha$ 维填充测度。这一结果扩展了 Olsen 最近要求开集条件的工作。我们利用这些不等式获得了 $K$ 的 Hausdorff 测度和填充测度的一些精确密度定理。此外，利用这些密度定理，我们描述了一种方案，将 $\mathcal{H}^\alpha(K)$ 精确计算为 IFS 参数的一组有限初等函数的最小值。我们还获得了一种精确算法，将 $\mathcal{P}^\alpha(K)$ 计算为 IFS 参数的另一组有限初等函数的最大值。这些结果分别扩展了 Ayer & Strichartz 以及 Feng 之前的成果，并适用于一些新的类别，使我们能够涵盖具有重叠的线性 Cantor 集。