一类自仿射集合的豪斯多夫维数

本文推导了一类自仿射吸引子的精确 Hausdorff 维数公式。我们考虑包含仿射映射其 n 次迭代为相似收缩变换，以及线性部分与对称算子 $A^\top A$ 交换的标准相似变换的系统，其中 $A$ 为仿射映射的线性部分。我们证明了该系统的吸引子唯一存在，并在满足开集条件下计算其精确 Hausdorff 维数。我们将该框架推广至所有映射长度为固定值的组合为相似变换的系统，以及重叠为吸引子的仿射复制的系统。我们统一这些方法，建立维数公式，以处理组合多个最终收缩仿射映射与普遍对齐相似变换的混合系统。最后，我们对这些在平面上的系统进行拓扑分类。对于包含仿射映射其第二次迭代为收缩比为 $c$ 的相似变换，以及比例为 $r$ 的 $f$-对齐相似变换的两映射系统，我们证明精确的参数平衡 $c + r = 1$ 作为严格的拓扑瓶颈，唯一保证开集条件和吸引子的连通性。