自相似集的算术和的豪斯多夫维数

设 $\beta>1$。我们定义一类相似映射 $$S:=\left\{f_{i}(x)=\dfrac{x}{\beta^{n_i}}+a_i:n_i\in \mathbb{N}^{+}, a_i\in \mathbb{R}\right\}.$$ 从 $S$ 中任取有限个相似映射 $\{f_{i}(x)\}_{i=1}^{m}$，众所周知存在唯一的自相似集 $K_1$ 满足 $K_1=\cup_{i=1}^{m} f_{i}(K_1)$。类似地，可通过 $S$ 中的有限压缩映射生成另一个自相似集 $K_2$。我们称 $K_1+K_2=\{x+y:x\in K_1, y\in K_2\}$ 为两个自相似集的算术和。本文中，我们证明 $K_1+K_2$ 要么是一个自相似集，要么是某个无穷迭代函数系的唯一吸引子。利用这一结果，我们可以在某些条件下计算 $K_1+K_2$ 的精确豪斯多夫维数，这在一定程度上提供了当 $K_1$ 和 $K_2$ 的 IFS 不满足无理假设时 $K_1+K_2$ 的维数结果，参见 Peres 和 Shmerkin \cite{PS}。