实数基于自相似集的算术表示

设 $n\geq 2$ 且对 $i=1,\cdots ,l,$ 有 $\mathcal{A}_{i}\subset \{0,1,\cdots ,(n-1)\}$，令 $K_{i}=\bigcup\nolimits_{a\in \mathcal{A}_{i}}n^{-1}(K_{i}+a)$ 为包含于 $[0,1]$ 中的自相似集。给定 $m_{1},\cdots ,m_{l}\in \mathbb{Z}$ 且 $\prod\nolimits_{i}m_{i}\neq 0,$ 我们令 \begin{equation*} S_{x}=\left\{ \mathbf{(}y_{1},\cdots ,y_{l}\mathbf{)}:m_{1}y_{1}+\cdots +m_{l}y_{l}=x\text{ with }y_{i}\in K_{i}\text{ }\forall i\right\} . \end{equation*} 本文中，我们分析如下集合的 Hausdorff 维数与 Hausdorff 测度 \begin{equation*} U_{r}=\{x:\mathbf{Card}(S_{x})=r\}, \end{equation*} 其中 $\mathbf{Card}(S_{x})$ 表示 $S_{x}$ 的基数，且 $r\in \mathbb{N}^{+}$。我们在所谓覆盖条件下证明 $U_{1}$ 的 Hausdorff 维数可用某矩阵表示。此外，若 $r\geq 2$，我们也给出若干充分条件使得 $U_{r}$ 的 Hausdorff 维数仅取有限个值，且这些值可被显式计算。进一步，我们提出若干充分条件使得 $U_{r}$ 的维数 Hausdorff 测度为无穷。文中给出了多种例子。我们的结果可视为几何测度论中经典切片问题的例外结果。