平面距离集维数的新界

我们证明了关于平面集的距离集与钉住距离集维数的新界。除其他结果外,我们证明若 $A\subset\mathbb{R}^2$ 是 Hausdorff 维数为 $s>1$ 的 Borel 集,则其距离集的 Hausdorff 维数至少为 $37/54\approx 0.685$。此外,若 $s\in (1,3/2]$,则在 Hausdorff 维数至多为 $1$ 的例外 $y$ 集之外,钉住距离集 $\{ |x-y|:x\in A\}$ 的 Hausdorff 维数 $\ge \tfrac{2}{3}s$,且填充维数至少为 $\tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$。这些估计改进了 Bourgain、Wolff、Peres-Schlag 和 Iosevich-Liu 对 Hausdorff 维数 $>1$ 集合的已有结果。我们的证明使用了测度的多尺度分解,与以往工作不同,我们能够在特定约束下选择尺度。这导出一个组合问题,它是我们方法的关键新要素,并通过优化 Lipschitz 函数的某种变体将其完全解决。