钉住距离集的豪斯多夫维数与 L^2 方法

我们证明：对任意 $E\subset{\Bbb R}^2$，若 $\dim_{\mathcal{H}}(E)>1$，则存在 $x\in E$ 使得钉住距离集 $$\Delta_x(E)=\{|x-y|: y \in E\}$$ 的豪斯多夫维数不小于 $\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}, 1\right\}$。这回答了 Guth、Iosevich、Ou 和 Wang 最近提出的一个问题，并改进了 Keleti 和 Shmerkin 的结果。（此版本已在 Proceeding AMS 上发表，故我希望保持不改。但摘要中的陈述，即定理 1.1 的第二部分，应稍作弱化：对任意 $\epsilon>0$，存在 $x\in E$ 使得 $\Delta_x(E)$ 的豪斯多夫维数至少为 $\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}-\epsilon, 1\right\}$，并且它蕴含距离集 $\Delta(E)=\{|x-y|:x,y\in E\}$ 的豪斯多夫维数至少为 $\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}, 1\right\}$。证明和定理 1.1 的第一部分没有问题。我为疏忽致歉，并感谢 Yumeng Ou 指出这一点。）