关于乘积测度的共形维数

给定紧集 $E \subset \mathbb{R}^{d - 1}$（$d \geq 1$），记 $K_{E} := [0,1] \times E \subset \mathbb{R}^{d}$。C. Bishop 与 J. Tyson 的一个定理指出，任何形如 $K_{E}$ 的集合在共形维数意义下是极小的：若 $(X,d)$ 是度量空间且 $f \colon K_{E} \to (X,d)$ 是拟对称同胚，则 $$\dim_{\mathrm{H}} f(K_{E}) \geq \dim_{\mathrm{H}} K_{E}.$$ 我们证明该结果的测度论类比不成立。对于任意 $d \geq 2$ 与 $0 \leq s < d - 1$，存在紧集 $E \subset \mathbb{R}^{d - 1}$ 满足 $0 < \mathcal{H}^{s}(E) < \infty$，使得 $\nu$（即 $K_{E}$ 上 $(1 + s)$ 维豪斯多夫测度的限制）的共形维数为零。更确切地说，对于任意 $\epsilon > 0$，存在拟对称嵌入 $F \colon K_{E} \to \mathbb{R}^{d}$ 使得 $\dim_{\mathrm{H}} F_{\sharp}\nu < \epsilon$。