分形上拓扑豪斯多夫维数与一般连续函数的水平集

在先前的一篇论文（arxiv:1108.4292）中，我们为度量空间引入了一个新的维数概念，即所谓的拓扑豪斯多夫维数。对于一个紧度量空间$K$，令$\dim_{H}K$和$\dim_{tH} K$分别表示其豪斯多夫维数和拓扑豪斯多夫维数。我们证明了这一新维数描述了$K$上一般连续函数的水平集的豪斯多夫维数，即对于一般的$f \in C(K)$，有$\sup{\dim_{H}f^{-1}(y) : y \in \mathbb{R}} = \dim_{tH} K - 1$，前提是$K$不是完全不连通的，否则每个非空水平集都是单点集。我们还证明了，如果$K$不是完全不连通且足够齐次，那么对于一般的$f \in C(K)$和一般的$y \in f(K)$，有$\dim_{H}f^{-1}(y) = \dim_{tH} K - 1$。本文最重要的目标是使这些定理更加精确。关于第一个结果，我们证明了上述第一个等式左边的上确界实际上是可以达到的，并且还证明了可能只存在唯一一个具有最大豪斯多夫维数的水平集。关于第二个结果，我们刻画了那些紧度量空间，对于一般的$f\in C(K)$和一般的$y\in f(K)$，满足$\dim_{H} f^{-1}(y)=\dim_{tH}K-1$。我们还推广了B. Kirchheim的一个结果，证明如果$K$是自相似的，那么对于一般的$f\in C(K)$和每一个$y\in \inter f(K)$，有$\dim_{H} f^{-1}(y)=\dim_{tH}K-1$。最后，我们证明了一般$f\in C(K)$的图像与$K$具有相同的豪斯多夫维数和拓扑豪斯多夫维数。