$\mathbb R^k$ 中随机统计自仿射Sierpinski海绵的维数

我们计算了通过使用 $[0,1]^k$ 中的某种渗流过程得到的任意随机统计自仿射 Sierpinski 海绵 $K\subset \mathbb{R}^k$（$k\ge 2$）的 Hausdorff 维数。为此，我们首先给出了支撑于 $K$ 上的统计自仿射测度的 Hausdorff 维数的 Ledrappier-Young 型公式。与确定性或随机动力学的版本相比，该公式呈现了一个新的特征。然后，我们建立了一个变分原理，将 $\dim_H K$ 表示为支撑于 $K$ 上的统计自仿射测度的 Hausdorff 维数的上确界，并证明该上确界被唯一达到。$\dim_H K$ 的值也用某个确定性势的加权压力函数表示。作为副产品，当 $k=2$ 时，我们给出了 $K$ 的 Hausdorff 维数的另一种方法，该维数最初由 Gatzouras 和 Lalley \cite{GL94} 获得。$K$ 的盒计数维数及其与 $\dim_H K$ 的相等性也被研究。我们还得到了 $K$ 的某些正交投影的 Hausdorff 维数的变分公式，并且对于支撑于 $K$ 上的统计自仿射测度，我们通过这些投影建立了维数守恒性质。