隐藏正性与 Hausdorff 维数数值计算的新方法：高阶方法

在 [14] 中，作者提出了一种计算迭代函数系统（IFS）不变集 Hausdorff 维数的新方法。本文中，我们将该方法推广以纳入高阶逼近方法。我们再次依赖于如下事实：可对每个 IFS 关联一个参数化正线性 Perron-Frobenius 算子族 $L_s$，这一思想在不同程度的普遍性下已为人知多年。尽管在我们所考虑的设定中 $L_s$ 不是紧的，但它拥有一个严格正的 $C^m$ 特征函数 $v_s$，其特征值为 $R(L_s)$（对任意 $m$ 成立），且 $L_s$ 谱中所有其他点 $z$ 满足 $|z| \le b$，其中某常数 $b < R(L_s)$。在对 IFS 的适当假设下，其不变集的 Hausdorff 维数即为使 $R(L_s) =1$ 的值 $s=s_*$。该特征值问题随后通过各子区间上的扩展 Chebyshev 点、使用任意次数 $r$ 的连续分段多项式的配点法来逼近。利用正矩阵 Perron 理论向将锥 $K$ 映射到其内部之矩阵的推广，以及对严格正特征函数 $v_s$ 导数的显式先验界，我们给出了 Hausdorff 维数 $s_*$ 的严格上下界，且随着网格尺寸减小和/或多项式次数增大，这些界快速收敛于 $s_*$。