矩阵序列的非齐次 Diophantine 近似的维数理论

本文研究由实数可逆矩阵序列 $\mathcal{A}=(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 构成的非齐次可良好可达点集合的 Hausdorff 维数。具体而言，对于给定点 $\mathbf{y}\in [0,1)^d$ 和函数 $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}^+$，我们研究极限上集\n$$W\big(\mathcal{A},\psi,{\bf y}\big) =\Big\{\mathbf{x}\in [0,1)^d\colon A_n\mathbf{x}~(\bmod~1)\in B\big(\mathbf{y}, \psi(n)\big) {\rm ~ for~ infinitely ~ many}~n\in\mathbb{N}\Big\}.$$\n由 $A_n$ 的奇异值和 $A_n^{-1}\mathbb{Z}^d$ 的 successive minima 决定该集的 Hausdorff 维数的 upper 和 lower 界;证明了这两个界对于某些矩阵是可达的。在此框架下，我们统一了收缩目标集和 recurrence 集的问题，建立了此类极限上集的 Hausdorff 维数。作为应用，我们相应的 upper 界对于收缩目标集和 recurrence 集在当前文献中显著改进。进一步推导了与具体矩阵类相关联的收缩目标和 recurrence 集的显式 Hausdorff 维数公式。我们将 Li-Liao-Velani-Wang-Zorin (Adv. Math., 2025) 关于矩形的 Mass Transfer Principle 推广到局部等距变换下的矩形。这一推广为 $W\big(\mathcal{A},\psi,{\bf y}\big)$ 的 Hausdorff 维数提供了一般的 lower 界。