环面矩阵变换递归集的 Hausdorff 维数

设 $T\colon\mathbb{T}^d\to \mathbb{T}^d$ 由 $T x=Ax(\bmod 1)$ 定义，其中 $A$ 是一个 $d\times d$ 整数矩阵，其特征值满足 $1<|\lambda_1|\le|\lambda_2|\le\dots\le|\lambda_d|$。我们研究递归集 $$R(\psi):=\{x\in\mathbb{T}^d\colon T^nx\in B(x,\psi(n)) {\rm ~for~infinitely~ many~}n\}$$ 的 Hausdorff 维数，其中 $\alpha\ge\log|\lambda_d/\lambda_1|$，$\psi$ 是定义在 $\mathbb{N}$ 上的正递减函数，其在无穷远处的下阶为 $\alpha=\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{-\log \psi(n)}{n}$。在 $A$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可对角化且具有整数特征值的情况下，我们获得了维数公式。