与 $\beta$-变换相关的丢番图逼近的维数理论

设 $T_\beta$ 为 $[0,1)$ 上由 $$T_\beta(x)=\beta x\text{ mod }1.$$ 定义的 $\beta$-变换。我们研究点 $x$ 在 $T_\beta$ 作用下的轨道的丢番图逼近。确切地说,对给定的两个正函数 $\psi_1,~\psi_2: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$,定义 $$\mathcal{L}(\psi_1):=\left\{x\in[0,1]:T_\beta^n x<\psi_1(n),\text{ 对无穷多个 $n\in\mathbb{N}$}\right\},$$ $$\mathcal{U}(\psi_2):=\left\{x\in [0,1]:\forall~N\gg1,~\exists~n\in[0,N],\ s.t.\ T^n_\beta x<\psi_2(N)\right\},$$ 其中 $\gg$ 表示足够大。我们计算集合 $\mathcal{L}(\psi_1)\cap\mathcal{U}(\psi_2)$ 的 Hausdorff 维数。作为推论,我们估计了集合 $\mathcal{U}(\psi_2)$ 的 Hausdorff 维数。