Diophantine 近似维数及其在调和分析中的应用

本文基于欧几里得空间中的 Diophantine 近似构造了新的集合族，并讨论其在调和分析中几个问题的应用。我们的第一个应用涉及这些集合的 Hausdorff 维数。我们证明了 Ren 和 Wang 在 ABC 和积积问题中的结果是尖锐的。讨论了更高维情况及其与正交投影的关系。还提出了一些猜想。除了 Hausdorff 维数，我们还考虑 Fourier 维数。对于每一个 $0\leq t\leq s\leq 1$，我们能够构造一个子集 $\mathbb{R}$，其 Hausdorff 维数为 $s$，而 Fourier 维数为 $t$，并伴随一个测度 $\mu$，该测度捕获两个维度，即 $$\mu(B(x,r))\lesssim_\epsilon r^{s-\epsilon} \ \text{且} \ |\hat{\mu}(\xi)|\lesssim_\epsilon |\xi|^{-t/2 +\epsilon}, \ \forall\,\epsilon>0.$$ 这在文献中至关重要但却是首次出现的此类结果。我们的最后一个结果是从集合和测度的维数角度，提供了 Fourier 限制锐度的观点。