集合交集、丢番图方程与傅里叶分析

Mattila 的一个经典定理（见 \cite{Mat84}；另见 \cite{M95} 第 13 章）指出，如果 $A,B \subset {\Bbb R}^d$ 的 Hausdorff 维数分别为 $s_A, s_B$，且满足 $s_A+s_B \ge d$，$s_B>\frac{d+1}{2}$ 以及 $dim_{{\mathcal H}}(A \times B)=s_A+s_B\ge d$，那么对于 Lebesgue 测度意义下的几乎每个 $z \in {\Bbb R}^d$，有 $$dim_{{\mathcal H}}(A \cap (z+B)) \leq s_A+s_B-d$$。在本文中，我们将上述第一个不等式左边的 Hausdorff 维数替换为上 Minkowski 维数，将平移集合的 Lebesgue 测数替换为足够大维数集合上的 Hausdorff 测度，并将平移和旋转群替换为更一般的变系数变换族。在考虑尖锐性例子时出现了有趣的算术问题。这些结果部分受到 \cite{EIT11} 和 \cite{IJL10} 的启发，前者在分形背景下研究了微分几何中的经典正则值定理，后者从分析角度探讨了离散关联理论。傅里叶积分算子界限和其他调和分析技术在我们的研究中起着至关重要的作用。秉承 Furstenberg 猜想的精神，我们还通过询问：若一个集合与适当弯曲的流形族的交集维数有给定的下界，则该集合的维数最小可以是多少，从而考虑了交集的逆问题。最后，我们将讨论我们的估计在估计整数上丢番图方程组解的个数问题中的应用。