由无理旋转逼近的集合的 Hausdorff 维数

设 $\theta$ 为无理数，$\varphi: {\mathbb N} \to {\mathbb R}^{+}$ 为趋于零的单调递减函数。设 $$E_\varphi(\theta) =\Big\{y \in \mathbb R: \|n\theta- y\|<\varphi(n), \ {\text{for infinitely many}}\ n\in {\mathbb N} \Big\},$$ 即关于误差函数 $\varphi(n)$ 由无理旋转逼近的点集。在本文中，我们对任意单调函数 $\varphi$ 和任意无理数 $\theta$，给出了 $E_\varphi(\theta)$ 的 Hausdorff 维数的完整描述。