关于连分数极值理论的一个注记

设$x$为单位区间内的无理数，记其连分数展开为$[a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x), \cdots]$。对于任意$n \geq 1$，记$T_n(x) = \max_{1 \leq k \leq n}\{a_k(x)\}$。我们关注分形集$$E_\phi = \left\{x \in (0,1): \lim_{n \to \infty} \frac{T_n(x)}{\phi(n)} =1\right\},$$的 Hausdorff 维数，其中$\phi$是定义在$\mathbb{N}$上的正函数，且当$n \to \infty$时$\phi(n) \to \infty$。Wu 和 Xu、Liao 和 Rams 以及 Ma 已获得了一些部分结果。在本文中，当$\phi(n)$随$n$趋于无穷大而以双指数速率趋于无穷大时，我们进一步研究了这一课题。