Jarn\'ik 集与 Diophantine 分形交集的 Hausdorff 维数

实数的无理性指数衡量其如何能被有理数近似。无理性指数严格大于 $2$ 的实数称为超 irrationals，形成具有丰富分形结构的集合。我们证明，该集合与任何由反向连分数产生的抛物型迭代函数系统极限集的交集在 Hausdorff 维数上为满维。作为推论，我们证明无理数集合中，其无理性指数严格大于 $2$ 且其反向连分数展开的部分 quotient 有界，该集合的 Hausdorff 维数为 $1$。这与存在不存在无理数且其常规连分数展开的部分 quotient 有界且无理性指数严格大于 $2$ 的事实形成鲜明对比。