具有受限且缓慢增长的部分商的集合的 Hausdorff 维数

I. J. Good (1941) 证明了 $(0,1)$ 中部分商 $a_n$ 趋于无穷的无理数集合的 Hausdorff 维数为 $1/2$。许多相关结果施加了 $a_n\in B$ 或 $a_n\geq f(n)$ 类型的限制，其中 $B$ 是 $\mathbb N$ 的无限子集，$f$ 是随 $n$ 快速增长的函数。我们证明，对于任意的 $B$ 和任意的 $f$（其值在 $[\min B,\infty)$ 中且趋于无穷），$(0,1)$ 中满足 $$a_n\in B,\ a_n\leq f(n)\text{ 对所有 $n\in\mathbb N$ 成立, 且 }a_n\to\infty\text{ 当 }n\to\infty$$ 的无理数集合的 Hausdorff 维数为 $\tau(B)/2$，其中 $\tau(B)$ 是 $B$ 的收敛指数。