指数增长部分商的度量性质

连分数度量理论中的一个基本挑战是量化那些以连分数表示时部分商以特定速率增长的实数集合。对任意正函数$\Phi$，Wang-Wu定理（2008）全面描述了集合 \begin{equation*} \EE_1(\Phi):=\left\{x\in [0, 1): a_n(x)\geq \Phi(n) \ {\rm for \ infinitely \ many} \ n\in \N\right\}. \end{equation*} 的Hausdorff维数。该集合存在多种推广，例如将上述集合中的单个部分商替换为连续部分商之积，其与Dirichlet定理的改进相关，以及许多类似性质的集合。确立此类集合Hausdorff维数的上界远易于证明下界。本文中，我们提出一种统一方法，为诸多已知情形（包括Wang-Wu [Adv. Math., 2008]、Huang-Wu-Xu [Israel J. Math. 2020]、Bakhtawar-Bos-Hussain [Nonlinearity 2020]及若干其他人的结果）给出最优下界，并作为主结果应用给出一新定理。为此，我们通过求集合 $$S_m(A_0,\ldots,A_{m-1}) \defeq \left\{ x\in[0,1): \, c_i A_i^n \le a_{n+i}(x) < 2c_i A_i^n,0 \le i \le m-1 \ \text{for infinitely many } n\in\N \right\},$$ 的精确Hausdorff维数实现，其中每个部分商指数增长且底数由参数$A_i>1$给出。适当选取$A_i$可使该集合作为所考虑集合的子集，从而为所有这些集合提供最优Hausdorff维数下界。证明关键在于引入了一致分布于$S_m(A_0,\ldots,A_{m-1})$的Cantor型子集上的多个概率测度。