连分数中具有乘积形式的大部分商的度量性质

连续部分商乘积的度量理论与一致丢番图逼近相关，特别是与狄利克雷定理的改进有关。为实现连分数中度量理论的若干变体形式，我们研究了前 $n$ 项中至少两个具有乘积形式的大部分商的分布。更精确地，设 $[a_1(x),a_2(x),\ldots]$ 为无理数 $x\in(0,1)$ 的连分数展开，令 $\varphi\colon \N\to\R$ 为一非递减函数，我们完全确定了如下集合的勒贝格测度与豪斯多夫维数：\begin{align*} \mathcal{F}_2(\varphi)=\Big\{x\in[0,1)\colon \exists ~1\le k\neq l \le n, ~&a_{k}(x)a_{k+1}(x)\ge \varphi(n), \\&a_{l}(x)a_{l+1}(x)\ge \varphi(n) \text{ for infinitely many } n\in \N \Big\} \end{align*}