Hurwitz 连分数的度量性质

我们发展了 Hurwitz 连分数的几何理论，这是理解复数被高斯整数之比逼近的逼近性质的主要工具。基于对 Hurwitz 连分数几何性质的透彻研究，我们确定了有效序列空间不是序列的闭集等其他结果。此外，我们建立了 Hurwitz 连分数的完备度量理论。令 $\Phi:\mathbb{N}\to \mathbb{R}_{>0}$ 为任意函数。对任意复数 $z$ 与 $n\in\mathbb{N}$，令 $a_n(z)$ 表示 $z$ 的 Hurwitz 连分数中第 $n$ 个部分商。本文的主要结果之一是计算了集合 $$E(\Phi) := \left\{ z\in \mathbb C: |a_n(z)|\geq \Phi(n) \text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N} \right\}$$ 的 Hausdorff 维数。本研究是 Wang 与 Wu [Adv. Math. 218 (2008), no. 5, 1319--1339] 著名结果的复数类比。