连分数中 Borel-Bernstein 定理的某些例外集

令 $[a_1(x),a_2(x), a_3(x),\cdots]$ 表示实数 $x \in [0,1)$ 的连分数展开。本文关注 Borel-Bernstein 定理关于 $\{a_n(x)\}_{n\geq1}$ 增长率的某些例外集。作为主要结果，确定了集合 $$E_{\sup}(\psi)=\left\{x\in[0,1):\ \limsup\limits_{n\to\infty}\frac{\log a_n(x)}{\psi(n)}=1\right\}$$ 的 Hausdorff 维数，其中 $\psi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}^+$ 当 $n\to\infty$ 时趋于无穷。