L"{u}roth 展开中某些例外集的 Hausdorff 维数

在本文中，我们研究 L"{u}roth 展开中数字增长率的度量理论。更确切地说，对于 $x\in \left( 0,1 \right]$，令 $\left[ d_1\left( x \right) ,d_2\left( x \right) ,\cdots \right]$ 表示 $x$ 的 L"{u}roth 展开，我们完全确定了以下集合的 Hausdorff 维数 \begin{align*} E_{\mathrm{sup}}\left( \psi \right) =\Big\{ x\in \left( 0,1 \right] :\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\log d_n\left( x \right)}{\psi \left( n \right)}=1 \Big\} , \end{align*} \begin{align*} E\left( \psi \right) =\Big\{ x\in \left( 0,1 \right] :\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\log d_n\left( x \right)}{\psi \left( n \right)}=1 \Big\} \end{align*} 和 \begin{align*} E_{\mathrm{inf}}\left( \psi \right) =\Big\{ x\in \left( 0,1 \right] : \liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{\log d_n\left( x \right)}{\psi \left( n \right)}=1 \Big\} , \end{align*} 其中 $\psi :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^+$ 是满足当 $n\rightarrow \infty$ 时 $\psi \left( n \right) \rightarrow \infty$ 的任意函数。