单值集的豪斯多夫维数与魔鬼阶梯

我们固定一个正整数 $M$，并考虑在字母表 $\{0,1,...,M\}$ 上以任意实基数 $q>1$ 的展开。用 $U_q$ 表示具有唯一展开的实数集合。在完成许多先前研究的基础上，我们给出了每个 $q\in (1,\infty)$ 下 $U_q$ 的豪斯多夫维数 $D(q)$ 的公式。进一步，我们证明维数函数 $D:(1,\infty)\to[0,1]$ 是连续的，且具有有界变差。此外，它在 $(q',\infty)$ 中具有魔鬼阶梯行为，其中 $q'$ 表示 Komornik--Loreti 常数：尽管对所有 $q>q'$ 有 $D(q)>D(q')$，但我们在 $(q',\infty)$ 中 a.e.（几乎处处）有 $D'<0$。在证明过程中，我们改进并推广了 Erd\H{o}s 等人关于 $\beta$-展开中存在大零块的一个定理，并且对所有 $M$ 确定了使 $x=1$ 具有唯一展开的基数集合的勒贝格测度和豪斯多夫维数。