具有多个 q-展开的数字的度量结果

设 $M$ 为正整数且 $q\in (1, M+1]$。实数 $x$ 的 $q$-展开是指一个序列 $(c_i)=c_1c_2\cdots$，其中 $c_i\in \{0,1,\ldots, M\}$，使得 $x=\sum_{i=1}^{\infty}c_iq^{-i}$。本文研究由恰好具有 $j$ 个 $q$-展开的实数组成的集合 $\mathcal{U}_q^j$。我们的主要结果是：对于 Lebesgue 几乎每个 $q\in (q_{KL}, M+1)$，都有 $$\dim_{H}\mathcal{U}_{q}^{j}\leq \max\{0, 2\dim_H\mathcal{U}_q-1\}\text{ 对所有 } j\in\{2,3,\ldots\}。$$ 此处 $q_{KL}$ 为 Komornik-Loreti 常数。作为该结果的推论，我们证明了对于任意 $j\in\{2,3,\ldots\}$，将 $q$ 映射到 $\dim_{H}\mathcal{U}_{q}^{j}$ 的函数不连续。