非整数基下唯一展开式的数量

设 $q > 1$ 为一实数，并设 $m=m(q)$ 为小于 $q$ 的最大整数。众所周知，每个数 $x \in J_q:=[0, \sum_{i=1}^{\infty} m q^{-i}]$ 都可表示为 $x=\sum_{i=1}^{\infty}{c_i}q^{-i}$，其中整数系数满足 $0 \le c_i < q$。若 $q$ 为非整数，则几乎每个 $x \in J_q$ 都有连续统多个这种形式的展开式。本文考虑由 $J_q$ 中具有唯一这种表示形式的数 $x$ 所构成的集合 $\mathcal{U}_q$ 的若干性质。更具体地，我们比较了满足 $1< q < r$ 且 $m(q)=m(r)$ 的 $q$ 和 $r$ 值所对应的集合 $\mathcal{U}_q$ 和 $\mathcal{U}_r$ 的大小。