实数的唯一展开基：局部维数、魔鬼阶梯与孤立点

给定正整数 $M$ 和实数 $x>0$，令 $\mathcal U(x)$ 为所有基 $q\in(1, M+1]$ 的集合，使得存在唯一序列 $(d_i)=d_1d_2\ldots$，每位数字 $d_i\in\{0,1,\ldots, M\}$ 满足 $$x=\sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{q^i}.$$ 序列 $(d_i)$ 称为 $x$ 的一个 $q$-展开。本文研究 $\mathcal U(x)$ 的局部维数，并证明唯一非整数基展开的一个“变分原理”。我们还确定了 $\mathcal U(x)$ 的临界值：当 $x$ 越过第一个临界值时，集合 $\mathcal U(x)$ 由具有正Hausdorff维数的集合变为可数集；当 $x$ 越过第二个临界值时，集合 $\mathcal U(x)$ 由无穷集变为单点集。记 $\mathbf U(x)$ 为对所有 $q\in\mathcal U(x)$ 的 $x$ 的所有唯一 $q$-展开的集合。我们给出了 $\mathbf U(x)$ 的Hausdorff维数，并证明维数函数 $x\mapsto\dim_H\mathbf U(x)$ 是一个非增的魔鬼阶梯。最后，我们研究了 $\mathcal U(x)$ 的拓扑结构。与 $x=1$ 时 $\mathcal U(1)$ 无孤立点形成对比，我们证明了对典型的 $x>0$，集合 $\mathcal U(x)$ 含有孤立点。