相对分岔集与唯一展开基的局部维数

固定字母表 $A=\{0,1,\dots,M\}$，其中 $M\in\mathbb{N}$。数 $1$ 在字母表 $A$ 上具有唯一展开的基 $q\in(1,M+1)$ 所构成的唯一展开集 $\mathscr{U}$ 已被充分研究。它的勒贝格测度为零但豪斯多夫维数为一。本文通过确定极限 $$f(q):=\lim_{\delta\to 0}\dim_H\big(\mathscr{U}\cap(q-\delta,q+\delta)\big)$$ 来研究集合 $\mathscr{U}$ 在区间 $(1,M+1)$ 上的分布，其中对所有 $q\in(1,M+1)$。我们特别地证明 $f(q)>0$ 当且仅当 $q\in\overline{\mathscr{U}}\backslash\mathscr{C}$，其中 $\mathscr{C}$ 是一个豪斯多夫维数为零的不可数集，且 $f$ 在其为零的那些（且仅有那些）点处连续。此外，我们引入 $\mathscr{U}$ 的一族两两不相交的子集，称为相对分岔集，并用它们给出 $\mathscr{U}$ 与任意区间交集的豪斯多夫维数的显式表达式，回答了 Kalle 等人 [arXiv:1612.07982; to appear in Acta Arithmetica, 2018] 的问题。最后，本文发展的方法被用于完整回答第一作者 [Adv. Math., 308:575--598, 2017] 关于强唯一展开集的问题。