关于唯一展开的分歧集

给定正整数 $M$，对于 $q\in(1, M+1]$，令 ${\mathcal{U}}_q$ 为 $[0, M/(q-1)]$ 中具有以数字集 $\{0, 1,\ldots, M\}$ 的唯一 $q$-展开的 $x$ 的集合，并令 $\mathbf{U}_q$ 为相应的 $q$-展开的集合。最近，Komornik 等人 (Adv. Math., 2017) 证明了拓扑熵函数 $H: q \mapsto h_{top}(\mathbf{U}_q)$ 在 $(1, M+1]$ 中是一个 Devil's staircase。令 $\mathcal{B}$ 为 $H$ 的分歧集，定义为 $$\mathcal{B}=\{q\in(1, M+1]: H(p)\ne H(q)\quad\textrm{对于任意}\quad p\ne q\}.$$ 在本文中，我们分析了 $\mathcal{B}$ 的分形性质，并证明对于任意 $q\in \mathcal{B}$，$$\lim_{\delta\rightarrow 0} \dim_H(\mathcal{B}\cap(q-\delta, q+\delta))=\dim_H\mathcal{U}_q,$$ 其中 $\dim_H$ 表示 Hausdorff 维数。此外，当 $q\in\mathcal{B}$ 时，唯一集 $\mathcal{U}_q$ 是维度齐次的，即对于任意与 $\mathcal{U}_q$ 相交的开集 $V$，$\dim_H(\mathcal{U}_q\cap V)=\dim_H\mathcal{U}_q$。作为应用，我们得到了包含所有满足 $1$ 具有唯一 $q$-展开的基 $q\in(1, M+1]$ 的集合 $\mathcal{U}$ 的维度谱结果。特别地，我们证明对于任意 $t>1$，有 $$\dim_H(\mathcal{U}\cap(1, t])=\max_{ q\le t}\dim_H\mathcal{U}_q.$$ 我们还考虑了当 $M$ 变化时集合 $\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$ 的变化情况。