双进制展开中单射集的拓扑结构

给定两个满足 $q_0+q_1\geq q_0q_1$ 的实数 $q_0,q_1>1$ 以及两个不相等的实数 $d_0\ne d_1$, 我们称实数 $x$ 的双进制展开为一个序列 $(i_k)\in \{0,1\}^{\infty}$，满足 \n\begin{equation*}\nx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{i_k}}{q_{{i_1}}q_{{i_2}}\cdots q_{{i_k}}}. \n\end{equation*}\n我们记 $\mathcal{U}_{{q_0,q_1}}$ 为具有唯一展开的数的集合。该集合的拓扑性质在等底情况 $q_0=q_1$ 下已研究了很久。我们将此研究扩展到情况 $q_0\neq q_1$。虽然许多结果仍然有效，但由于双进制展开的复杂度增加，出现了大量新的现象。