唯一 $q$-展开的熵、拓扑传递性与维数性质

设 $M$ 为正整数，$q \in(1,M+1]$。我们考虑实数在字母表 $\{0,\ldots, M\}$ 上以 $q$ 为基的展开。特别地，我们研究具有唯一 $q$-展开的实数集合 $\mathcal{U}_{q}$，以及相应序列的集合 $\mathbf{U}_q$。（Komornik 等，2017 Adv. Math.）已证明，将 $q\in(1, M+1]$ 映射到 $\mathcal{U}_q$ 的拓扑熵的函数 $H$ 是一个魔鬼阶梯。在本文中，我们显式确定了 $H$ 的平台，并刻画了函数 $H$ 不局部恒定的 $q$ 的分岔集 $\mathcal E$。此外，我们证明了 $\mathcal E$ 是具有满 Hausdorff 维数的 Cantor 集。我们还研究了自然出现的子移位 $(\mathbf{V}_q, \sigma)$ 的拓扑传递性，该子移位与开放动力系统有密切联系。最后，我们证明了对于所有 $q\in(1,M+1]$，$\mathcal{U}_q$ 的 Hausdorff 维数与盒维数重合。