连续可加过程图像的 Hausdorff 与 Fourier 维数

可加过程是一个具有独立增量且在概率意义上连续随机过程。在本文中，我们研究零均值连续可加过程图像的几乎必然 Hausdorff 与 Fourier 维数。此类过程可表示为 $X_t = B_{V(t)}$，其中 $B$ 为布朗运动，$V$ 为连续增函数。我们证明这些维数依赖于局部一致 Hölder 指数。特别地，若 $V$ 为局部一致双 Lipschitz 的，则图像的 Hausdorff 维数为 3/2。我们还证明若 $V$ 至少存在一个具有正下 Hölder 正则性的点，则 Fourier 维数几乎必然为正。也可以通过 $V$ 的 $L^q$ 谱来估计图像的 Hausdorff 维数。我们将证明若 $V$ 由 ${\mathbb R}^{1}$ 上满足凸开集条件的自相似测度生成，则图像的 Hausdorff 维数可由其 $L^q$ 谱精确计算。以 Cantor Devil Staircase 函数为例，其图像的 Hausdorff 维数为 $1+\frac12\cdot\frac{\log 2}{\log 3}$。此外，我们将证明布朗阶梯的图像几乎必然 Fourier 维数为零，这一结果令人惊讶。