数字集 {0,1,q} 的实数多重展开

对于 $q>1$，我们考虑在字母表 $\{0,1,q\}$ 上以 $q$ 为基数的展开式。设 $\mathcal{U}_q$ 为具有唯一 $q$-展开式的 $x$ 的集合。对于 $k=2, 3,\cdots,\aleph_0$，设 $\mathcal{B}_k$ 为存在具有 $k$ 个不同 $q$-展开式的 $x$ 的基数 $q$ 的集合，对于 $q\in \mathcal{B}_k$，设 $\mathcal{U}_q^{(k)}$ 为所有具有 $k$ 个不同 $q$-展开式的此类 $x$ 的集合。本文我们证明：$$\mathcal{B}_{\aleph_0}=[2,\infty),\quad \mathcal{B}_k=(q_c,\infty)\quad \textrm{对于任意}\quad k\ge 2,$$ 其中 $q_c\approx 2.32472$ 是 $x^3-3x^2+2x-1=0$ 的适当根。此外，我们证明对于任意正整数 $k\ge 2$ 和任意 $q\in\mathcal{B}_{k}$，$\mathcal{U}_q^{(k)}$ 和 $\mathcal{U}_q$ 的 Hausdorff 维数相同，即：$$\dim_H\mathcal{U}_q^{(k)}=\dim_H\mathcal{U}_q\quad\textrm{对于任意}\quad k\ge 2.$$ 最后，我们得出结论：具有连续统多个 $q$-展开式的 $x$ 的集合具有满 Hausdorff 维数。