双基数展开和带洞二元移位系统的豪斯多夫维数

对于两个实数基数 $q_0, q_1 > 1$，一个二元序列 $i_1 i_2 \cdots \in \{0,1\}^\infty$ 是数 $$\pi_{q_0,q_1}(i_1 i_2 \cdots) = \sum_{k=1}^\infty \frac{i_k}{q_{i_1} \cdots q_{i_k}}.$$ 的 $(q_0,q_1)$-展开。设 $U_{q_0,q_1}$ 为所有具有唯一 $(q_0,q_1)$-展开的实数集合。当基数相等时，即 $q_0 = q_1 = q$，Allaart 和 Kong (2019) 在 Komornik、Kong 和 Li (2017) 工作的基础上，建立了唯一展开集 $U_{q,q}$ 的豪斯多夫维数关于 $q$ 的连续性。我们推导了任意 $q_0, q_1 > 1$ 下 $U_{q_0,q_1}$ 的豪斯多夫维数和底层子移位的熵的显式公式，并证明了这些量作为 $(q_0, q_1)$ 函数的连续性。我们的结果也涉及由带洞二元移位描述的一般动力系统，特别包括带洞的二倍映射和（线性）Lorenz 映射。