关于二进制展开中产生的某些集合的维数

我们证明，对于二进制展开式 $$x=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-(d_{1}(x)+d_{2}(x)+\dots+d_{i}(x))}$$ 其中 $x\in(0,1]$ 且 $d_{i}(x)\in\mathbb{N}$，集合 $A=\{x|\lim_{i\to\infty}d_{i}(x)=\infty\}$ 具有零 Hausdorff 维数，这与连分式展开的结果相反，在连分式展开中 $A$ 的 Hausdorff 维数为 $1/2$，参见 \cite{[GO]}。此外，我们构造了 $B=\{x|\limsup_{i\to\infty}d_{i}(x)=\infty\}$ 中 Hausdorff 维数为一的子集，并在集合 $B$ 中找到了一个维数谱。