Weyl 和的小值

我们证明，满足 $$\underline{\lim}_{N\to \infty}\left| \sum_{n=1}^N\exp(2 \pi i (x_1n+\ldots + x_dn^d)) \right| =0$$ 的 $(x_1, \ldots, x_d)\in [0,1)^d$ 所组成的集合在 $[0,1)^d$ 中包含稠密的 $\mathcal{G}_\delta$ 集，并具有正的 Hausdorff 维数。对广义高斯和 $$\sum_{n=1}^N\exp(2\pi i x n^d), \qquad x \in [0,1)$$ 也建立了类似结论。