Weyl 和的度量理论

我们证明存在正常数 $C$ 和 $c$，使得对任意整数 $d \ge 2$，满足对无穷多个自然数 $N$ 有 $$cN^{1/2}\le \left|\sum^N_{n=1}\exp\left (2 \pi i \left (x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\le C N^{1/2}$$ 的 ${\mathbf x}\in [0,1)^d$ 之集合具有满 Lebesgue 测度。这显著改进了先前以 Hausdorff 维数度量类似集合的结果。我们还对单项式 $xn^d$（$d\neq 4$）的指数和获得了类似界。最后，我们得到一般指数多项式大值的 Hausdorff 维数的下界。