幂 -2 衰减类高斯展开的度量理论

每个 $x\in (0,1]$ 都可以唯一地展开为幂 -2 衰减类高斯展开，形式为 \begin{equation*} x=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-(d_1(x)+d_2(x)+\cdots+d_i(x))},\qquad d_i(x)\in \mathbb{N}. \end{equation*} 设 $\phi:\mathbb{N}\to \mathbb{R}^{+}$ 为任意正函数。我们关注集合 $$F(\phi)=\{x\in (0,1]:d_n(x)\ge \phi(n)~~\text{for infinity many}~n\}$$ 的大小。我们证明了关于 $F(\phi)$ 勒贝格测度零一律的 Borel-Bernstein 定理。当 $F(\phi)$ 的勒贝格测度为零时，我们计算其 Hausdorff 维数。此外，我们从概率和多分形角度分析了前 $n$ 位数字中最大数字的增长率。