关于乘法卷积的傅里叶衰减

我们证明如下结论。设 $\mu_{1},\ldots,\mu_{n}$ 为 $[-1,1]$ 上的 Borel 概率测度，且对 certain 指标 $s_{j} \in (0,1]$ 满足 $\mu_{j}$ 具有有限 $s_j$-能量，并有 $s_{1} + \ldots + s_{n} > 1$。则测度 $\mu_{1},\ldots,\mu_{n}$ 的乘法卷积具有幂次傅里叶衰减：存在常数 $\tau = \tau(s_{1},\ldots,s_{n}) > 0$，使得对充分大的 $|\xi|$ 有 $$\left| \int e^{-2\pi i \xi \cdot x_{1}\cdots x_{n}} \, d\mu_{1}(x_{1}) \cdots \, d\mu_{n}(x_{n}) \right| \leq |\xi|^{-\tau}$$。这验证了 Bourgain 于 2010 年提出的猜想。在关于指数 $s_{j}$ 的更强假设下，我们还获得了定量的傅里叶衰减指数。