关于具有代数压缩比的自相似测度的绝对连续性与最大 Garsia 熵

本文考虑 $\mathbb{R}$ 上的自相似测度 $\nu_\lambda=\mathrm{law}\left(\sum_{j \geq 0} \xi_j \lambda^j\right)$,其中 $|\lambda|<1$ 且 $\xi_j \sim \nu$ 关于在 $\mathbb{Z}$ 上有限支撑的测度 $\nu$ 独立同分布。经典 Bernoulli 卷积即为一例。已知对于某些代数 $\lambda$ 与在区间上一致的 $\nu$ 的组合,$\nu_\lambda$ 绝对连续且其傅里叶变换具有幂衰减(\cite{garsia1}, \cite{feng});证明中利用了对于这些组合,称为 Garsia 熵 $h_{\lambda}(\nu)$ 的量达到最大。我们证明了当 $\lambda$ 与 $\nu$ 使得 $h_{\lambda}(\nu)$ 最大时绝对连续性与傅里叶幂衰减发生,并对所有此类组合进行分类。我们发现,若没有模恰为一的 Galois 共轭的代数 $\lambda$ 具有使 $h_{\lambda}(\nu)$ 最大的 $\nu$,则 $\lambda$ 的所有 Galois 共轭的模必须小于一,且 $\nu$ 必须满足关于 $\lambda$ 的某有限线性方程组。